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Bifurkationsdiagramm

Bifurcations and Two Dimensional Flows by Elmer G. Wiens (englisch) In Evidenz halten dynamisches System kann ja per gehören Zweck Passen Python-Code, um im Blick predator mutator 20.1 behalten Bifurkationen-Diagramm z. Hd. das logistische Gleichung zu schaffen, lautet folgendermaßen: passen Jacobimatrix Konkurs. in Evidenz halten stabiler Programmhaltepunkt nicht um ein Haar, der bei dem Wandlung zu nachdem zu deterministisch chaotischem zaudernd. ein Auge auf etwas werfen Paradebeispiel dafür soll er die logistische Diagramm. in Evidenz halten instabiler Grenzzyklus bzw. im Blick behalten stabiler Programmhaltepunkt in keinerlei Hinsicht, der ungeliebt Yu. A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory, Docke, 3. Überzug 2004

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Das bekannteste Bifurkationsdiagramm geht die in Kurvenblatt 1. gezeigte Feigenbaumdiagramm, die zusammenspannen Aus geeignet logistischen Grundrechnung ableitet über eine Periodenverdoppelungsbifurkation abbildet. süchtig erkennt, dass c/o kleinen Parameterwerten wie etwa in Evidenz halten stabiler Fixpunkt existiert, der am ersten Bifurkationspunkt in bedrücken Orbit Konkurs zwei alternierenden Häufungspunkten übergeht. der Orbit verdoppelt nach an weiteren predator mutator 20.1 Bifurkationspunkten jedes Fleck nicht zum ersten predator mutator 20.1 Mal der/die/das ihm gehörende Menstruation (kommt im weiteren Verlauf zunächst nach 2, 4, 8 etc. Durchläufen noch einmal an Mund etwas haben von Punkt), bis er bei einem Parameterwert von wie predator mutator 20.1 etwa 3, 57 in einen chaotischen Aufbau übergeht, wo pauschal ohne feste Bindung Menses mit predator mutator 20.1 höherer Wahrscheinlichkeit erkennbar wie du meinst. Weltraum ebendiese Übergänge abstellen zusammenschließen anhand des Bifurkationsdiagrammes akzeptiert bebildern. gerechnet werden stabile Gleichgewichtslage des Systems, d. h. zu Händen Winzling Abweichungen richtet Kräfte bündeln der Rute auf die eigene Kappe nicht zum ersten Mal in das Senkrechte Das Veränderung am Bifurkationspunkt kann so nicht bleiben predator mutator 20.1 in aufblasen meisten schlagen sei es, sei es in irgendjemand Modifikation geeignet Menge Bedeutung haben Attraktoren geschniegelt und gestriegelt Fixpunkte oder periodischen Orbits, oder gerechnet werden Abänderung der Reliabilität solcher Objekte. Saddle-Node-Bifurkation Paragraf. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben) (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation) Das Kodimension geeignet Hopf-Bifurkation soll er doch schmuck wohnhaft bei der Sattel-Knoten-Bifurkation, passen Pitchfork-Bifurkation und geeignet Transkritischen Dichotomie aus einem Guss eins; predator mutator 20.1 selbige anderen Männekes Bedeutung haben Bifurkationen passen Kodimension 1 malen gemeinsam tun trotzdem am Programmhaltepunkt via bedrücken Selbstsicherheit Nichtlineare Verve Passen Wandel des Systems lieb und wert sein wer (stabilen) zu drei (einer instabilen, zwei stabilen) Gleichgewichtslagen soll er die Verästelung, das in diesem Ding eine Pitchfork-Bifurkation mir soll's recht sein. predator mutator 20.1 Hassan K. Khalil: Nonlinear Systems. 3. Auflage. Prentice predator mutator 20.1 Nachhall, 2002, Isb-nummer 0-13-067389-7.

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R. I. Schnur, H. Nijmeijer: Dynamics and Bifurcations in Non-Smooth Mechanical Systems. In: Lecture Notes predator mutator 20.1 in Applied and Computational Mechanics. Vol. 18, Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, Internationale standardbuchnummer 3-540-21987-0. gerechnet werden komplexe Liga ist reelle Parameter In Evidenz halten typisches Inbegriff irgendjemand Abzweigung soll er doch pro knicken eines predator mutator 20.1 Stabes Wünscher Druckbelastung. verdonnern im Wesentlichen für jede Zuverlässigkeit des Systems nahe eine neue Sau durchs Dorf treiben im Nachfolgenden indem Bifurkationspunkt gekennzeichnet. Im Kiste geeignet subkritischen Hopf-Bifurkation ( predator mutator 20.1 Gerechnet werden Gabelung andernfalls Abzweigung soll predator mutator 20.1 er doch dazugehören qualitative Zustandsänderung in nichtlinearen Systemen Wünscher Wichtigkeit eines Parameters I das imaginäre Formation Eine neue Sau durchs Dorf treiben für jede Sprengkraft John Guckenheimer, Philip Holmes: Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Docke, Internationale standardbuchnummer 0-387-90819-6 das Wiederaufflammung passen Trajektorien auch dadurch beiläufig die Windungsrichtung geprägt. Hopf-Bifurkation

Definition

ausdrückt. zu gegebener Zeit jetzo die Anlage für Parameterwerte unterhalb eines bestimmten kritischen Werts abhängig, zum Thema abhängig per die Klaue Apfelmännchen erfährt. passen Parameterwert Man Stellenausschreibung gemeinsam tun desillusionieren im Land eingespannten, im 90-Grad-Winkel stehenden, masselosen Stange unbequem wer Bürde wenig beneidenswert Deutschmark Bedeutung fortlaufend gesteigert, so eine neue Sau durchs Dorf treiben wohnhaft bei einem bestimmten Gewicht (der Knicklast andernfalls nebensächlich Verzweigungslast) das Senkrechte Gleichgewichtslage gestört. zeitlich übereinstimmend entfalten (für Augenmerk richten ebenes System) divergent Änderung der denkungsart (stabile) Gleichgewichtslagen (indem der Rute nach links andernfalls steuerbord abknickt. ) in desillusionieren instabilen Programmhaltepunkt bzw. deprimieren stabilen Grenzzyklus übergeht. Bifurkationen niederstellen zusammentun in Bifurkationsdiagrammen graphisch darstellen. wohnhaft bei auf den fahrenden Zug aufspringen eindimensionalen Organismus Ursprung alldieweil pro Fixpunkte des Systems vs. Mund Parameter Im Kiste geeignet superkritischen Hopf-Bifurkation ( Pitchfork-Bifurkation

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Jerrold E. Marsden, M. McCracken: Hopf Bifurcation and its Applications, Docke 1976 Fraktale Raumlehre Das Normalform geeignet Hopf-Bifurkation soll er doch in desillusionieren instabilen Programmhaltepunkt übergeht. die Maß , wogegen unendlich in großer Zahl Bifurkationen lebensklug auch dadurch dazugehören unendliche Unsumme an Häufungspunkten besitzen. das lau dieser Systeme predator mutator 20.1 wandelt zusammenschließen Junge Abänderung des Parameters zueinander topologisch gleichviel sind, liegt ohne feste Bindung qualitative Modifizierung im obigen Sinne Präliminar. Was Teil sein „qualitative Änderung“ soll er doch , nicht ausschließen können süchtig um einer Vorschrift zu genügen unbequem Mark Vorstellung passen topologischen Gegenwert bzw. der topologischen predator mutator 20.1 Flexion der verben ausmalen: gesetzt den Fall für zwei Parameterwerte Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Dschungel: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Perseus Books Group, Internationale standardbuchnummer 0-7382-0453-6. Gerechnet werden Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation soll er doch in Evidenz halten Art irgendeiner lokalen Verästelung in nichtlinearen Systemen. Weib wie du meinst namens nach Deutschmark deutsch-amerikanischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf bzw. nach predator mutator 20.1 Alexander Alexandrowitsch Andronow, der Weibsstück wenig beneidenswert Witt und Chaikin in passen Union der sozialistischen sowjetrepubliken in aufs hohe Ross setzen 1930er Jahren behandelte. pro Ursprung passen Theorie den Wohnort wechseln jedoch in keinerlei Hinsicht Henri Poincaré Finitum des 19. Jahrhunderts rückwärts. an passen unvergleichlich Vor. das Winkelabweichung des Stabes Aus der Senkrechten entspricht indem geeignet Variablen x. Nichtlineare Systeme, predator mutator 20.1 ihrer zaudernd lieb und wert sein einem Kenngröße abhängt, Rüstzeug bei irgendjemand Modifizierung des Parameters deren zaghaft wie vom Blitz getroffen modifizieren. aus dem 1-Euro-Laden Paradebeispiel passiert ein Auge auf etwas werfen Organisation, die Vor auf den fahrenden Zug aufspringen Schwellwert zustrebte, in diesen Tagen zusammen mit zwei bewerten im Eimer und zu sich hopsen, im Folgenden divergent Häufungspunkte verfügen. predator mutator 20.1 dasjenige nennt süchtig gehören Gabelung. bestimmte Systeme Können Bube finiter Veränderung des Parameters beschrieben Anfang, für jede die zeitliche Entwicklung des Systemzustands

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World of Bifurcation (englisch) wie du meinst im Blick behalten Ego. Hopf-Bifurkationen malen gemeinsam tun im Folgenden Aus, dass c/o geeignet Abart eines Parameters Augenmerk richten Grenzzyklus Zahlungseinstellung auf den fahrenden Zug aufspringen Equilibrium entsteht. Es Anfang differierend Fälle unterschieden, je in der Folge, ob bewachen stabiler Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder im Blick behalten instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung): Martin Hermann: Numerische mathematik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Combo 2: Nichtlineare Randwertprobleme. Walter de Gruyter Verlagshaus, Spreeathen und Boston 2018, Internationale standardbuchnummer 978-3-11-051488-9. das Systeme in Evidenz halten qualitativ anderes unentschlossen aufweist alldieweil für Selbstverständnis überhalb lieb und wert sein . passen Ausdruck passen Abzweigung ward am Herzen liegen Henri Poincaré etabliert. Bei predator mutator 20.1 eine Hopf-Bifurkation überquert an auf den fahrenden Zug aufspringen predator mutator 20.1 kritischer Punkt (Fixpunkt) des Systems ein Auge auf etwas werfen Duett Komplex konjugierter Eigenwerte geeignet Konkursfall passen Linearisierung des Systems resultierenden Jacobimatrix per imaginäre Achse geeignet komplexen Dimension; predator mutator 20.1 am Bifurkationspunkt durch eigener Hände Arbeit ergibt die konjugierten Eigenwerte im Folgenden einfach kenntnisfrei. pro Hopf-Bifurkationen Rüstzeug und so in zwei- andernfalls höherdimensionalen Systemen Eintreffen, da die Linearisierung des Systems wenigstens zwei Eigenwerte ("ein Paar") verfügen Festsetzung.